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IB Statistiques et Probabilités Problème 001

2026-05-23T15:55:10+00:00

Un ensemble de données comprend \(n\) valeurs.

La somme des valeurs est de \(800\) et la moyenne est de \(20\).

Trouvez \(n\).

L'écart type de cet ensemble de données est de \(3\).

Chaque valeur de l'ensemble est multipliée par \(10\).

1. Écrivez la valeur de la nouvelle moyenne.
2. Trouvez la valeur de la nouvelle variance.

IB Statistiques et Probabilités Problème 002

2026-05-23T15:55:09+00:00

Pablo se rend au travail en voiture.

La probabilité qu'il quitte la maison avant 07 h 00 est de \(\frac{3}{4}\).

S'il quitte la maison avant 07 h 00, la probabilité qu'il soit en retard au travail est de \(\frac{1}{8}\).

S'il quitte la maison à 07 h 00 ou après, la probabilité qu'il soit en retard au travail est de \(\frac{5}{8}\).

Recopiez et complétez le diagramme en arbre suivant.
Trouvez la probabilité que Pablo quitte la maison avant 07 h 00 et qu'il soit en retard.
Trouvez la probabilité que Pablo soit en retard au travail.
Sachant que Pablo est en retard au travail, trouvez la probabilité qu'il ait quitté la maison avant 07 h 00.

IB Statistiques et Probabilités Problème 003

2026-05-23T15:55:08+00:00

La courbe des effectifs cumulés ci-dessous représente les notes de \(100\) étudiants.

Trouvez la note médiane.
Trouvez l'intervalle interquartile.

IB Statistiques et Probabilités Problème 004

2026-05-23T15:55:07+00:00

La variable aléatoire \(X\) suit la distribution de probabilité suivante, avec \(P(X > 1) = 0{,}5\).

Trouvez la valeur de \(r\).
Étant donné que \(E(X) = 1{,}4\), trouvez la valeur de \(p\) et celle de \(q\).

IB Statistiques et Probabilités Problème 005

2026-05-23T15:55:06+00:00

Un sac \(A\) contient trois boules blanches et quatre boules rouges.

Deux boules sont choisies au hasard et sans remise.

1. Copiez et complétez le diagramme en arbre suivant. (N'écrivez rien sur cette page.)
2. Trouvez la probabilité que deux boules blanches soient choisies.

Un sac \(B\) contient quatre boules blanches et trois boules rouges.

Quand deux boules sont choisies au hasard et sans remise dans le sac \(B\), la probabilité qu'elles soient toutes les deux blanches est \(\frac{2}{7}\).

Un dé standard est lancé. Si l'on obtient \(1\) ou \(2\), deux boules sont choisies au hasard et sans remise dans le sac \(A\), sinon elles sont choisies dans le sac \(B\).

Trouvez la probabilité que les deux boules soient blanches.
Étant donné que les deux boules sont blanches, trouvez la probabilité qu'elles aient été choisies dans le sac \(A\).

IB Géométrie et Trigonométrie Problème 001

2026-05-23T15:12:36+00:00

La figure n'est pas à l'échelle.

Cercle de centre \(O\) et de rayon égal à \(r\) cm.

Les points \(A\) et \(B\) sont situés sur la circonférence du cercle et \(\angle AOB = \theta\). L'aire du secteur grisé \(AOB\) est de \(12 cm^2\) et la longueur de l'arc \(AB\) est de \(6 cm\).

Trouvez la valeur de \(r\).

IB Géométrie et Trigonométrie Problème 002

2026-05-23T15:12:35+00:00

La figure n'est pas à l'échelle.

Le diagramme montre le quadrilatère \(ABCD\).

\(AB = 11cm\), \(BC = 6cm\), \(\angle\,BAD = 59^\circ\), \(\angle\,ADB = 100^\circ\) et \(\angle\,CBD = 82^\circ\).

Trouvez DB.

Trouvez DC.

IB Géométrie et Trigonométrie Problème 003

2026-05-23T15:12:34+00:00

La figure n'est pas à l'échelle.

La figure représente un secteur d'un cercle de rayon \(r\,cm\) et d'angle au centre \(\theta\). Le périmètre du secteur est de \(20\,cm\).

Montrez que \(\theta = \frac{20 - 2r}{r}\).
L'aire de ce secteur est de \(25\,cm^2\). Trouvez la valeur de \(r\).

IB Géométrie et Trigonométrie Problème 004

2026-05-23T15:12:33+00:00

La figure n'est pas à l'échelle.

La figure représente un pentagone \(ABCDE\), où \(AB = 9{,}2\,cm, BC = 3{,}2\,cm, BD = 7{,}1\,cm, \angle\,AED = 110^\circ, \angle\,ADE = 52^\circ,\) et \(\angle\,ABD = 60^\circ\).

Trouvez \(AD\).
Trouvez \(DE\).
L'aire du triangle \(BCD\) est \(5{,}68\,cm^2\). Trouvez \(\angle\,DBC\).
Trouvez \(AC\).

IB Géométrie et Trigonométrie Problème 005

2026-05-23T15:12:32+00:00

La figure n'est pas à l'échelle.

La figure montre \(\bigtriangleup\,PQR\), où \(RQ = 9\,cm\), \(\angle\,PRQ = 70^\circ\) et \(\angle\,PQR = 45^\circ\).

Trouvez \(\angle\,RPQ\).
Trouvez \(PR\).
Trouvez l'aire de \(\bigtriangleup\,PQR\).

IB Géométrie et Trigonométrie Problème 006

2026-05-23T15:12:31+00:00

La figure n'est pas à l'échelle.

La figure montre le cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\).

Les points \(P\), \(R\) et \(Q\) sont sur la circonférence, \(\angle\,POQ = 2\theta\), pour \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\).

Utilisez la loi des cosinus pour montrer que \(PQ = 2r\,\sin\,\theta\).
Soit \(l\) la longueur de l'arc \(PRQ\). Étant donné que \(1{,}3PQ - l = 0\), trouvez la valeur de \(\theta\).
Considérez la fonction \(f(\theta) = 2{,}6\,\sin\,\theta - 2\theta\), pour \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\).
1. Esquissez la représentation graphique de \(f\).
2. Donnez la racine de \(f(\theta) = 0\).
Utilisez la courbe \(f\) pour trouver les valeurs de \(\theta\) pour lesquelles \(l < 1{,}3\,PQ\).

IB Géométrie et Trigonométrie Problème 007

2026-05-23T15:12:30+00:00

Il y a, au pied d'une colline une tour verticale \(TA\) de \(36\,m\) de hauteur. Un chemin rectiligne monte la colline depuis \(A\) vers un point \(U\). Ces informations sont représentées par la figure suivante.

La figure n'est pas à l'échelle.

Le chemin fait un angle de \(4^\circ\) avec l'horizontale.

Le point \(U\) sur le chemin est à \(25\,m\) de la base de la tour.

Le sommet de la tour est relié à \(U\) par un câble de longueur \(x\) (en \(m\)).

Complétez la figure en représentant clairement les informations ci-dessus.
Trouvez \(x\).

IB Géométrie et Trigonométrie Problème 008

2026-05-23T15:12:29+00:00

La figure ci-dessous représente le plan d'une fenêtre en forme de trapèze.

La figure n'est pas à l'échelle.

Trois côtés de la fenêtre ont une longueur de \(2\,m\). L'angle entre les côtés obliques de la fenêtre et la base est \(\theta\), où \(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\).

Montrez que l'aire de la fenêtre est donnée par \(y = 4\,\sin\,\theta + 2\,\sin\,2\theta\).
Zoé veut une fenêtre avec une aire de \(5 m^2\). Trouvez les deux valeurs possibles de \(\theta\).
John veut deux fenêtres qui ont la même aire \(A\) mais des valeurs différentes de \(\theta\). Trouvez toutes les valeurs possibles de \(A\).

IB Géométrie et Trigonométrie Problème 009

2026-05-23T15:12:28+00:00

La figure ci-dessous représente un cercle de centre \(O\) et de rayon \(8\,cm\).

La figure n'est pas à l'échelle.

Les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) sont sur le cercle, et \(AF\) est un diamètre. La longueur de l'arc \(ABC\) est de \(6\,cm\).

Trouvez la mesure de l'angle \(\angle\,AOC\).
À partir de là, trouvez l'aire de la région grisée.
L'aire du secteur \(OCDE\) est de \(45\,cm^2\). Trouvez la mesure de l'angle \(\angle\,COE\).
Trouvez \(EF\).

IB Fonctions Problème 001

2026-05-21T11:55:44+00:00

Le diagramme suivant est la représentation graphique de la fonction \(f(x)\) pour \(-4 \leq x \leq 2\).

Diagramme \(A\)

Sur le système d'axes du diagramme \(A\), esquissez la représentation graphique de \(f(-x)\).

Une autre fonction, \(g\), peut s'écrire sous la forme \(g(x) = a \times f(x + b)\).

Le diagramme suivant montre la représentation graphique de \(g\).

Diagramme \(B\)

Selon le diagramme \(B\), écrivez la valeur de \(a\) et de \(b\) de la fonction \(g\).

IB Fonctions Problème 002

2026-05-21T11:55:43+00:00

Soit \(f(x) = p\,x^2 + q\,x - 4\,p\), où \(p \ne 0\).

Trouvez le nombre de racines de l'équation \(f(x) = 0\).

Justifiez votre réponse.

IB Fonctions Problème 003

2026-05-21T11:55:42+00:00

Soit \(f(x) = 2\,x - 1\) et \(g(x) = 3x^2 + 2\).

Trouvez \(f^{-1}(x)\).
Trouvez \((f \circ g)(1)\).

IB Fonctions Problème 004

2026-05-21T11:55:41+00:00

La fonction \(f(x)\) pour \(-2 \leq x \leq 3\) est représentée ci-dessous.

La représentation graphique de \(f\) est transformée pour obtenir celle de \(g\) représentée ci-dessous.

Esquissez la représentation graphique de \(f(-x)\) sur le système d'axe ci-dessous.

La fonction \(g\) peut s'écrire sous la forme \(g(x) = a\,f(x + b)\).

Donnez la valeur de \(a\) et celle de \(b\).

IB Fonctions Problème 005

2026-05-21T11:55:40+00:00

Considérez l'équation \(x^2 + (k-1)x + 1 = 0\), où \(k\) est un nombre réel.

Trouvez les valeurs de \(k\) pour lesquelles l'équation a deux solutions réelles égales.

IB Fonctions Problème 006

2026-05-21T11:55:39+00:00

La fonction quadratique \(f(x)\), pour \(0 \leq x \leq 4\) est représentée ci-dessous.

La courbe passe par le point \(P(0; 13)\), et son sommet est le point \(V(2; 1)\).

La fonction peut s'écrire sous la forme \(f(x) = a(x-h)^2 + k\).
1. Donnez la valeur de \(h\) et celle de \(k\).
2. Montrez que \(a=3\).
Calculez l'aire délimitée par la courbe de \(f\), l'axe des abscisses \(x\), et les droites \(x=2\) et \(x=4\).

IB Fonctions Problème 007

2026-05-21T11:55:38+00:00

Soit la fonction \(f(x) =\frac{x}{-2x^2 + 5x - 2}\), pour \(-2 \leq x \leq 4\), \(x \ne \frac{1}{2}\), \(x\ne2\), représentée ci-dessous.

La courbe a un minimum local en \(A(1;1)\) et un maximum local en \(B\).

Utilisez la règle de dérivation du quotient pour montrer que \(f^\prime(x)=\frac{2x^2 - 2}{(-2x^2+5x-2)^2}\).
À partir de là, trouvez les coordonnées de \(B\).
Étant donné que la droite \(y=k\) ne rencontre pas la courbe de \(f\), trouvez les valeurs possibles de \(k\).

IB Fonctions Problème 008

2026-05-21T11:55:37+00:00

Soit \(f(x) = 3\ln\,x\) et \(g(x) = \ln\,5x^3\).

Exprimez \(g(x)\) sous la forme \(f(x)+\ln a\) où \(a \in \mathbb{Z}^+\).
La représentation graphique de \(g\) est une transformation de celle de \(f\). Donnez une description géométrique complète de cette transformation.

IB Fonctions Problème 009

2026-05-21T11:55:36+00:00

La grande roue d'un parc de loisirs : son diamètre est de 100 mètres. Figure A.

Tableau de hauteurs de \(P\) en mètres par rapport au sol après \(t\) minutes. Tableau B.

Soit \(P\) un point de la roue. La roue démarre avec \(P\) à son point le plus bas, au niveau du sol.

La roue tourne avec une vitesse constante, dans le sens contraire des aiguilles d'une montre. Un tour complet prend \(20\) minutes.

Donnez la hauteur de \(P\) par rapport au sol après :
1. \(10\) minutes.
2. \(15\) minutes.
Soit \(h(t)\) la hauteur de \(P\) par rapport au sol en mètres après \(t\) minutes.
1. Montrez que \(h(8)=90{,}5\).
2. Trouvez \(h(21)\).
Esquissez la représentation graphique de \(h\), avec \(0 \leq t \leq 40\).
Étant donné que \(h\) peut s'exprimer sous la forme \(h(t) = a\,\cos\,bt + c\), trouvez \(a\), \(b\) et \(c\).

IB Fonctions Problème 010

2026-05-21T11:55:35+00:00

Soit \(f(x)=p(x-q)(x-r)\).

Une partie de la représentation graphique de \(f\) est illustrée ci-dessous.

Elle passe par les points \((-2; 0)\), \((0; -4)\) et \((4 ; 0)\).

Donnez la valeur de \(q\) et de \(r\).
Donnez l'équation de l'axe de symétrie.
Trouvez la valeur de \(p\).

IB Fonctions Problème 011

2026-05-21T11:55:34+00:00

Soit \(f(x) = \cos\,2x\) et \(g(x) = 2x^2 - 1\).

Trouvez \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)\).
Trouvez \((g \circ f)\left(\frac{\pi}{2}\right)\).
Étant donné que \((g \circ f)\) peut s'écrire sous la forme \(\cos(kx)\), trouvez la valeur de \(k\), \(k \in \mathbb{Z}\).

IB Fonctions Problème 012

2026-05-21T11:55:33+00:00

Résolvez \(\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3\), avec \(x > 2\).

IB Fonctions Problème 013

2026-05-21T11:55:32+00:00

À la fin de 1972, la population d'une ville était de \(250\ 000\) habitants.

Cette population augmente de \(1{,}3\%\) par an.

Donnez la population à la fin de 1973.
Trouvez la population à la fin de 2002.

IB Fonctions Problème 014

2026-05-21T11:55:31+00:00

Soit \(f(x) = \sqrt{x + 4}\), \(x \geq -4\) et \(g(x) = x^2\), \(x \in \mathbb{R}\).

Trouvez \((g \circ f)(3)\).
Trouvez \(f^{-1}(x)\).
Donnez le domaine de \(f^{-1}\).

IB Fonctions Problème 015

2026-05-21T11:55:30+00:00

On considère deux fonctions quadratiques différentes de la forme \(f(x) = 4x^2 - qx + 25\).

La représentation graphique de chacune des fonctions a son sommet sur l'axe des abscisses.

Trouvez les deux valeurs de \(q\).
Pour la plus grande valeur de \(q\), résolvez \(f(x) = 0\).
Trouvez les coordonnées du point d'intersection des deux représentations graphiques.

IB Fonctions Problème 016

2026-05-21T11:55:29+00:00

Soit \(f(x) = \ln(x +2)\), \(x > -2\) et \(g(x) = e^{x-4}\), \(x > 0\).

Donnez l'intersection de la représentation graphique de \(f\) avec l'axe des abscisses.
1. Donnez \(f(-1{,}999)\).
2. Trouvez l'image de \(f\).
Trouvez les coordonnées du point d'intersection des représentations graphiques de \(f\) et \(g\).

IB Fonctions Problème 017

2026-05-21T11:55:28+00:00

La représentation graphique d'une fonction \(f\) est tracée sur la figure ci-dessous.

Le point \(A(-1; 1)\) est sur la représentation graphique et \(y=-1\) est une asymptote horizontale.

Soit \(g(x) = f(x-1) + 2\). Sur la figure, esquissez la représentation graphique de \(g\).
Donnez l'équation de l'asymptote de \(g\).
Soit \(A^\prime\) le point sur la représentation graphique de \(g\) correspondant au point \(A\). Donnez les coordonnées de \(A^\prime\).

IB Fonctions Problème 018

2026-05-21T11:55:27+00:00

Soit la fonction \(y = a\,\sin\,2x + c\), \(-180 \leq x \leq 180\), où \(x\) est mesuré en degrés.

La courbe de la fonction est représentée ci-dessous.

Donnez :
1. la période de cette fonction ;
2. l'amplitude de cette fonction.
Déterminez les valeurs de \(a\) et de \(c\).
Calculez l'abscisse \(x\) de la première intersection de la courbe avec la partie négative de l'axe des abscisses.

IB Fonctions Problème 019

2026-05-21T11:55:26+00:00

Soit \(f(x) = \sin(e^x)\) pour \(0 \leq x \leq 1{,}5\).

Le diagramme suivant montre la représentation graphique de \(f\).

Trouvez l'abscisse à l'origine de la représentation graphique de \(f\).

IB Fonctions Problème 020

2026-05-21T11:55:25+00:00

Dans un parc d'attractions, une grande roue dont le diamètre est de \(111\) mètres tourne à une vitesse constante.

Le bas de la roue est \(k\) mètres au-dessus du sol.

Un siège part du bas de la roue.

La figure n'est pas à l'échelle.

La roue complète un tour en 16 minutes.

Après \(t\) minutes, la hauteur du siège au-dessus du sol est donnée par \(h(t) = 61{,}5 + a\,\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)\), pour \(0 \leq t \leq 32\).

Après \(8\) minutes, le siège est à \(117\) m au-dessus du sol. Trouvez \(k\).
Trouvez la valeur de \(a\).
Trouvez quand le siège est à \(30\) m au-dessus du sol pour la troisième fois.

IB Fonctions Problème 021

2026-05-21T11:55:24+00:00

Soit \(f(x) = \frac{x - 5}{cx + 6}\) pour \(x \ne -\frac{6}{c}\), \(c \ne 0\).

La droite \(x = 3\) est une asymptote verticale de la représentation graphique de \(f\). Trouvez la valeur de \(c\).
Écrivez l'équation de l'asymptote horizontale de la représentation graphique de \(f\).
La droite \(y=k\), où \(k \in \mathbb{R}\), coupe la représentation graphique de \(\vert f(x) \vert\) en exactement un point. Trouvez les valeurs possibles de \(k\).

IB Fonctions Problème 022

2026-05-21T11:55:23+00:00

Soit \(f(x)=3x\), \(g(x)=2x - 5\) et \(h(x) = (f \circ g)(x)\).

Trouvez \(h(x)\).
Trouvez \(h^{-1}(x)\).

IB Fonctions Problème 023

2026-05-21T11:55:22+00:00

Soit \(g(x) = \frac{1}{2}x\,\sin\,x\), avec \(0 \leq x \leq 4\).

Esquissez la représentation graphique de \(g\) sur le repère ci-dessous.

À partir de là, trouvez la valeur de \(x\) pour laquelle \(g(x) = -1\).

IB Fonctions Problème 024

2026-05-21T11:55:21+00:00

On considère \(f(x) = 2 - x^2\), avec \(-2 \leq x \leq 2\), et \(g(x)= \sin\,e^x\), avec \(-2 \leq x \leq 2\).

La représentation graphique de \(f(x)\) est donnée ci-dessous.

Sur la figure ci-dessus, esquissez la représentation graphique de \(g\).
Résolvez \(f(x) = g(x)\).
Donnez l'ensemble des valeurs de \(x\) telles que \(f(x) > g(x)\).

IB Fonctions Problème 025

2026-05-21T11:55:20+00:00

Le nombre de bactéries, \(n\), dans une boîte de Pétri, après \(t\) minutes est donné par \(n = 800e^{0{,}13t}\).

Trouvez la valeur de \(n\) quand \(t = 0\).
Trouvez le taux d'accroissement de \(n\) quand \(t = 15\).
Après \(k\) minutes, le taux d'accroissement de \(n\) est supérieur à \(10\ 000\) bactéries par minute. Trouvez la plus petite valeur de \(k\), avec \(k \in \mathbb{Z}\).

IB Algèbre et Nombres Problème 001

2026-05-21T11:09:25+00:00

Une suite arithmétique est telle que \(u_1 = \log_c (p)\) et \(u_2 = \log_c (pq)\) où \(c > 1\), et \(p, q > 0\).

Montrez que \(d = \log_c (q)\).
Soit \(p = c^2\) et \(q = c^3\). Trouvez la valeur de \(\sum_{n=1}^{20} u_n\).

IB Algèbre et Nombres Problème 002

2026-05-21T11:09:24+00:00

Étant donné que \(\left(1 + \frac{2}{3}\,x \right)^n(3 + nx)^2 = 9 + 84x + \ldots\), trouvez la valeur de \(n\).

IB Algèbre et Nombres Problème 003

2026-05-21T11:09:23+00:00

Dans une suite arithmétique, \(u_1 = 2\) et \(u_3 = 8\).

Trouvez \(d\).
Trouvez \(u_{20}\).
Trouvez \(S_{20}\).

IB Algèbre et Nombres Problème 004

2026-05-21T11:09:22+00:00

L'un des termes du développement de \((x + 2y)^{10}\) est \(ax^8y^2\).

Trouvez la valeur de \(a\).

IB Algèbre et Nombres Problème 005

2026-05-21T11:09:21+00:00

Le premier terme d'une suite géométrique infinie est \(4\). La somme de la suite infinie est \(200\).

Trouvez la raison.
Trouvez la somme des 8 premiers termes.
Trouvez la plus petite valeur de \(n\) pour laquelle \(S_n > 163\).

IB Algèbre et Nombres Problème 006

2026-05-21T11:09:20+00:00

Considérez le développement de \(\left(2x + \frac{k}{x}\right)^9\), où \(k > 0\). Le coefficient du terme en \(x^3\) est égal au coefficient du terme en \(x^5\).

Trouvez \(k\).

IB Algèbre et Nombres Problème 007

2026-05-21T11:09:19+00:00

Le premier terme d'une suite géométrique est \(200\) et la somme des quatre premiers termes est \(324{,}8\).

Trouvez la raison.
Trouvez le dixième terme.

IB Algèbre et Nombres Problème 008

2026-05-21T11:09:18+00:00

Considérez le développement de \((x + 2)^{11}\).

Donnez le nombre de termes dans le développement.
Trouvez le terme contenant \(x^2\).

IB Algèbre et Nombres Problème 009

2026-05-21T11:09:17+00:00

Une suite arithmétique \(u_1, u_2, u_3, \ldots\), est telle que \(d = 11\) et \(u_{27} = 263\).

Trouvez \(u_1\).
1. Étant donné que \(u_n = 516\), trouvez la valeur de \(n\).
2. Pour cette valeur de \(n\), trouvez \(S_n\).

IB Algèbre et Nombres Problème 010

2026-05-21T11:09:16+00:00

Dans le développement de \(\left(3x^2 - \frac{2}{x} \right)^5\), trouvez le terme en \(x^4\).

IB Calcul Problème 001

2026-05-20T23:35:34+00:00

Soit la fonction \(f(x) = 6x^2-3x\) représentée ci-haut.

La figure n'est pas à l'échelle.

Trouvez \(\int \! (6x^2-3x) \, \mathrm{d}x\).
Trouvez l'aire de la région délimitée par la représentation graphique de \(f(x)\),

l'axe des abscisses et les droites \(x = 1\) et \(x = 2\).

C'est à dire \(\int_1^2 \! (6x^2-3x) \, \mathrm{d}x\).

IB Calcul Problème 002

2026-05-20T23:35:33+00:00

Une boîte en métal, cylindrique et fermée, de rayon égal à \(r\) centimètres et de hauteur égale à \(h\) centimètres possède un volume de \(20\pi\, cm^3\).

La figure n'est pas à l'échelle.

Exprimez \(h\) en fonction de \(r\).

Le métal pour la base et le couvercle de la boîte coûte 10 cents le \(cm^2\) et le métal pour le côté incurvé coûte \(8\) cents le \(cm^2\).

Le coût total du métal, en cents, est de \(C\).

Montrez que \(C\,=\,20\pi{}r^2 + \frac{320\pi}{r}\)
Sachant qu'il existe une valeur minimale pour \(C\), trouvez cette valeur minimale en fonction de \(\pi\).

IB Calcul Problème 003

2026-05-20T23:35:32+00:00

Considérez une fonction \(f(x)\). La droite \(L_1\) d'équation \(y = 3x + 1\) est une tangente à la représentation graphique de \(f(x)\) lorsque \(x = 2\).

1. Écrivez \(f^\prime(2)\).
2. Trouvez \(f(2)\).

Soit \(g(x) = f(x^2 + 1)\) et \(P\) le point sur la représentation graphique de \(g\) où \(x = 1\).

Montrez que la représentation graphique de \(g\) a une pente de 6 au point \(P\).

Soit \(L_2\) la tangente à la représentation graphique de \(g\) au point \(P\). \(L_1\) coupe \(L_2\) au point \(Q\).

Trouvez l'ordonnée de \(Q\).

IB Calcul Problème 004

2026-05-20T23:35:31+00:00

La figure suivante donne la représentation graphique de \(f(x) = a\,Cos\,bx\), pour \(0 \leq x \leq 4\).

La figure n'est pas à l'échelle.

Il y a un point minimum en \(P( 2, -3 )\) et un point maximum en \(Q( 4, 3 )\).

1. Donnez la valeur de \(a\).
2. Trouvez la valeur de \(b\).
Donnez la pente de la courbe en \(P\).
Donnez l'équation de la normale à la courbe en \(P\).

IB Calcul Problème 005

2026-05-20T23:35:30+00:00

Soit \(h(x) = \frac{6x}{\cos x}\).

Trouvez \(h^\prime(0)\).

IB Calcul Problème 006

2026-05-20T23:35:29+00:00

La figure suivante représente une partie de la représentation graphique de \(f(x) = 2x\sqrt[2]{a^2 - x^2}\), pour \(-1 \leq x \leq a\), où \(a > 1\).

La figure n'est pas à l'échelle.

La droite \(L\) est la tangente à la représentation graphique de \(f\) à l'origine, \(O\). Le point \(P(a; b)\) est sur \(L\).

Étant donné que \(f^\prime(x) =\frac{2a^2 - 4x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\), pour \(-1 \leq x \leq a\), trouvez l'équation de \(L\).
À partir de là où par toute autre méthode, trouvez l'expression pour \(b\) en fonction de \(a\).

IB Calcul Problème 007

2026-05-20T23:35:28+00:00

La figure suivante représente une partie de la représentation graphique de la fonction \(f(x) = 2x^2\).

La figure n'est pas à l'échelle.

La droite \(T\) est la tangente à la représentation graphique de \(f\) en \(x = 1\).

Montrez que l'équation de \(T\) est \(y = 4x - 2\).
Trouvez l'abscisse à l'origine de \(T\).
La région grisée \(R\) est limitée par la représentation graphique de \(f\), la droite \(T\) et l'axe des abscisses.
1. Donnez une expression de l'aire de \(R\).
2. Trouvez l'aire de \(R\).

IB Calcul Problème 008

2026-05-20T23:35:27+00:00

La figure suivante représente une partie de la représentation graphique de la fonction quadratique \(f\).

La figure n'est pas à l'échelle.

Les abscisses à l'origine sont en \(( -4; 0 )\) et \(( 6; 0 )\) et l'ordonnée à l'origine est en \(( 0; 240 )\).

Donnez \(f(x)\) sous la forme \(f(x) = -10(x - p) (x - q)\).
Trouvez une autre expression de \(f(x)\) sous la forme \(f(x) = -10(x - h)^2 + k\).
Montrez que \(f(x)\) peut aussi s'écrire sous la forme \(f(x) = 240 + 20x -10x^2\).
Une particule se déplace en ligne droite de telle sorte que sa vitesse \(v\) ( en \(ms^{-1}\) ), au temps \(t\) (en secondes), est donnée par \(v = 240 + 20t -10t^2\) , avec \(0 \leq t \leq 6\).
1. Trouvez la valeur de \(t\) quand la vitesse de la particule est la plus grande.
2. Trouvez l'accélération de la particule quand sa vitesse est nulle.

IB Calcul Problème 009

2026-05-20T23:35:26+00:00

Soit \(f(x) = kx^4\). Le point \(P(1 ; k)\) est sur la courbe représentant \(f\). En \(P\), la normale à la courbe est parallèle à \(y = -\frac{1}{8}x\).

Trouvez la valeur de \(k\).

IB Calcul Problème 010

2026-05-20T23:35:25+00:00

Une fonction \(f\) est définie pour \(-4 \leq x \leq 3\).

La représentation graphique de \(f\) est donnée ci-dessous.

La figure n'est pas à l'échelle.

La représentation graphique présente un maximum relatif en \(x = 0\) et des minimums relatifs en \(x = -3\) et \(x = 2\).

Donnez les abscisses à l'origine de la représentation graphique de la fonction dérivée, \(f^\prime\).
Donnez toutes les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f^\prime(x)\) est positive.
Au point \(D\) sur la représentation graphique de \(f\), l'abscisse est \(-0{,}5\).

Expliquez pourquoi \(f^{\prime\prime}(x) < 0\) en \(D\).

IB Calcul Problème 011

2026-05-20T23:35:24+00:00

On considère la fonction \(f\) dont la dérivée seconde est \(f^{\prime\prime}(x) = 3x -1\).

La représentation graphique de \(f\) présente un point minimum en \(A(2 ; 4)\) et un point maximum en \(B(-\frac{4}{3}; \frac{358}{27})\).

Utilisez la dérivée seconde pour justifier que \(B\) est un maximum.
Étant donné que \(f^\prime(x) = \frac{3}{2}x^2 - x + p\), montrez que \(p = -4\).
Trouvez \(f(x)\).

IB Calcul Problème 012

2026-05-20T23:35:23+00:00

Soit \(f(x) = 6 + 6 \sin x\).

Une partie de la représentation graphique de \(f\) est donnée ci-dessous.

La figure n'est pas à l'échelle.

La région grisée est limitée par la courbe représentant \(f\), l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

Résolvez, avec \(0 \leq x \leq 2\pi\)
1. \begin{equation*} 6 + 6 \sin x = 6 \end{equation*}
2. \begin{equation*} 6 + 6 \sin x = 0 \end{equation*}
Donnez la valeur exacte de l'abscisse à l'origine de \(f\), avec \(0 \leq x \leq 2\pi\).
L'aire de la région grisée est \(k\). Trouvez la valeur de \(k\), en donnant votre réponse en fonction de \(\pi\).

Soit \(g(x) = 6 + 6 \sin (x - \frac{\pi}{2})\). La représentation graphique de \(f\) est transformée en celle de \(g\).

Donnez une description géométrique complète de cette transformation.
Étant donné que \(\int_p^{p+\frac{3\pi}{2}}g(x)\,dx = k\) et \(0 \leq p < 2\pi\), donnez les deux valeurs de \(p\).

IB Calcul Problème 013

2026-05-20T23:35:22+00:00

Soit \(f^\prime(x) = 12x^2 - 2\).

Sachant que \(f(-1) = -1\), trouvez \(f(x)\).

IB Calcul Problème 014

2026-05-20T23:35:21+00:00

La vitesse \(v\), en \(ms^{-1}\), d'une particule se déplaçant en ligne droite est donnée par \(v=e^{3t-2}\), où \(t\) est le temps en secondes.

Trouvez l'accélération de la particule à l'instant \(t = 1\).
Pour quelle valeur de \(t\) la particule a-t-elle une vitesse de \(22{,}3\,ms^{-1}\)?
Trouvez la distance parcourue pendant la première seconde.

IB Calcul Problème 015

2026-05-20T23:35:20+00:00

Soit \(f(x) = 3 \cos 2x + \sin^2 x\).

Montrez que \(f^\prime(x) = -5 \sin 2x\).
Dans l'intervalle \(\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{3\pi}{4}\), une normale à la représentation graphique de \(f\) a pour équation \(x = k\).

Trouvez la valeur de \(k\).

IB Calcul Problème 016

2026-05-20T23:35:19+00:00

Une particule \(P\) se déplace le long d'une droite. Le vecteur vitesse \(v\) en \(ms^{-1}\) de \(P\) après \(t\) secondes est donné par \(v(t) = 7 \cos t - 5t^{\cos t}\), pour \(0 \leq t \leq 7\).

Le diagramme suivant montre la représentation graphique de \(v\).

La figure n'est pas à l'échelle.

Trouvez le vecteur vitesse initial de \(P\).
Trouvez la vitesse maximale de \(P\).
Écrivez le nombre de fois où l'accélération de \(P\) est \(0\) \(ms^{-2}\).
Trouvez l'accélération de \(P\) lorsque la particule change de direction.
Trouvez la distance totale parcourue par \(P\).

IB Calcul Problème 017

2026-05-20T23:35:18+00:00

Soit \(f(x) = \cos(e^x)\), pour \(-2 \leq x \leq 2\).

Trouvez \(f^\prime(x)\).
Sur le système d'axes ci-dessous, esquissez la représentation graphique de \(f^\prime(x)\).

IB Calcul Problème 018

2026-05-20T23:35:17+00:00

Une particule se déplace sur une ligne droite avec une vitesse \(v = 12t - 2t^3 - 1\), pour \(t \geq 0\), où \(v\) est en centimètres par seconde et \(t\) est en secondes.

Trouvez l'accélération de la particule à l'instant \(t = 2{,}7\) secondes.
Trouvez le déplacement de la particule après \(1{,}3\) secondes.

IB Calcul Problème 019

2026-05-20T23:35:16+00:00

Soit \(f(x) = ax^3 + bx^2 + c\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des nombres réels. La courbe de \(f\) passe par le point \(( 2; 9 )\).

Montrez que \(8a + 4b +c = 9\).

La courbe de \(f\) a un minimum relatif en \((1; 4)\).

Trouvez deux autres équations en termes de \(a\), \(b\) et \(c\), en donnant vos réponses sous une forme similaire à celle de la partie A.
Trouvez la valeur de \(a\), celle de \(b\) et celle de \(c\).

IB Calcul Problème 020

2026-05-20T23:35:15+00:00

La pente d'une fonction est donnée par \(\dfrac{dy}{dx} = 10e^{2x - 5}\). Quand \(x = 0\), \(y = 8\).

Trouvez la valeur de \(y\) quand \(x = 1\).

IB Calcul Problème 021

2026-05-20T23:35:14+00:00

Soit \(f(x) = e^x \sin 2x + 10\), avec \(0 \leq x \leq 4\).

Une partie de la représentation graphique de \(f\) est donnée ci-dessous.

La figure n'est pas à l'échelle.

Sont représentés une abscisse à l'origine au point \(A\), un maximum relatif au point \(M\) avec \(x = p\) et un minimum relatif au point \(N\) avec \(x = q\).

Donnez l'abscisse de \(A\).
Trouvez la valeur de
1. \(p\)
2. \(q\)
Trouvez \(\int_p^q f(x)\,dx\).

Expliquez pourquoi ceci n'est pas l'aire de la région grisée.

IB Calcul Problème 022

2026-05-20T23:35:13+00:00

On considère \(f(x) = x\ln(4 - x^2)\), avec \(-2 < x < 2\).

Une partie de la représentation graphique de \(f\) est donnée ci-dessous.

Soient \(P\) et \(Q\) les points de la courbe représentant \(f\) où la tangente à la représentation graphique de \(f\) est parallèle à l'axe des abscisses.

1. Trouvez l'abscisse de \(P\) et \(Q\).
2. On considère \(f(x) = k\).
  
  Donnez toutes les valeurs de \(k\) pour lesquelles il y a exactement deux solutions.

Soit \(g(x) = x^3\ln(4 - x^2)\), avec \(-2 < x < 2\).

Montrez que \(g^\prime(x)=\frac{-2x^4}{4 - x^2} + 3x^2\ln(4 - x^2)\).
Esquissez la représentation graphique de \(g^\prime\).
On considère \(g^\prime(x) = w\).

Donnez toutes les valeurs de \(w\) pour lesquelles il y a exactement deux solutions.

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