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IB Calcul Problème 001

2026-05-20T23:35:34+00:00

Soit la fonction \(f(x) = 6x^2-3x\) représentée ci-haut.

La figure n'est pas à l'échelle.

Trouvez \(\int \! (6x^2-3x) \, \mathrm{d}x\).
Trouvez l'aire de la région délimitée par la représentation graphique de \(f(x)\),

l'axe des abscisses et les droites \(x = 1\) et \(x = 2\).

C'est à dire \(\int_1^2 \! (6x^2-3x) \, \mathrm{d}x\).

IB Calcul Problème 002

2026-05-20T23:35:33+00:00

Une boîte en métal, cylindrique et fermée, de rayon égal à \(r\) centimètres et de hauteur égale à \(h\) centimètres possède un volume de \(20\pi\, cm^3\).

La figure n'est pas à l'échelle.

Exprimez \(h\) en fonction de \(r\).

Le métal pour la base et le couvercle de la boîte coûte 10 cents le \(cm^2\) et le métal pour le côté incurvé coûte \(8\) cents le \(cm^2\).

Le coût total du métal, en cents, est de \(C\).

Montrez que \(C\,=\,20\pi{}r^2 + \frac{320\pi}{r}\)
Sachant qu'il existe une valeur minimale pour \(C\), trouvez cette valeur minimale en fonction de \(\pi\).

IB Calcul Problème 003

2026-05-20T23:35:32+00:00

Considérez une fonction \(f(x)\). La droite \(L_1\) d'équation \(y = 3x + 1\) est une tangente à la représentation graphique de \(f(x)\) lorsque \(x = 2\).

1. Écrivez \(f^\prime(2)\).
2. Trouvez \(f(2)\).

Soit \(g(x) = f(x^2 + 1)\) et \(P\) le point sur la représentation graphique de \(g\) où \(x = 1\).

Montrez que la représentation graphique de \(g\) a une pente de 6 au point \(P\).

Soit \(L_2\) la tangente à la représentation graphique de \(g\) au point \(P\). \(L_1\) coupe \(L_2\) au point \(Q\).

Trouvez l'ordonnée de \(Q\).

IB Calcul Problème 004

2026-05-20T23:35:31+00:00

La figure suivante donne la représentation graphique de \(f(x) = a\,Cos\,bx\), pour \(0 \leq x \leq 4\).

La figure n'est pas à l'échelle.

Il y a un point minimum en \(P( 2, -3 )\) et un point maximum en \(Q( 4, 3 )\).

1. Donnez la valeur de \(a\).
2. Trouvez la valeur de \(b\).
Donnez la pente de la courbe en \(P\).
Donnez l'équation de la normale à la courbe en \(P\).

IB Calcul Problème 005

2026-05-20T23:35:30+00:00

Soit \(h(x) = \frac{6x}{\cos x}\).

Trouvez \(h^\prime(0)\).

IB Calcul Problème 006

2026-05-20T23:35:29+00:00

La figure suivante représente une partie de la représentation graphique de \(f(x) = 2x\sqrt[2]{a^2 - x^2}\), pour \(-1 \leq x \leq a\), où \(a > 1\).

La figure n'est pas à l'échelle.

La droite \(L\) est la tangente à la représentation graphique de \(f\) à l'origine, \(O\). Le point \(P(a; b)\) est sur \(L\).

Étant donné que \(f^\prime(x) =\frac{2a^2 - 4x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\), pour \(-1 \leq x \leq a\), trouvez l'équation de \(L\).
À partir de là où par toute autre méthode, trouvez l'expression pour \(b\) en fonction de \(a\).

IB Calcul Problème 007

2026-05-20T23:35:28+00:00

La figure suivante représente une partie de la représentation graphique de la fonction \(f(x) = 2x^2\).

La figure n'est pas à l'échelle.

La droite \(T\) est la tangente à la représentation graphique de \(f\) en \(x = 1\).

Montrez que l'équation de \(T\) est \(y = 4x - 2\).
Trouvez l'abscisse à l'origine de \(T\).
La région grisée \(R\) est limitée par la représentation graphique de \(f\), la droite \(T\) et l'axe des abscisses.
1. Donnez une expression de l'aire de \(R\).
2. Trouvez l'aire de \(R\).

IB Calcul Problème 008

2026-05-20T23:35:27+00:00

La figure suivante représente une partie de la représentation graphique de la fonction quadratique \(f\).

La figure n'est pas à l'échelle.

Les abscisses à l'origine sont en \(( -4; 0 )\) et \(( 6; 0 )\) et l'ordonnée à l'origine est en \(( 0; 240 )\).

Donnez \(f(x)\) sous la forme \(f(x) = -10(x - p) (x - q)\).
Trouvez une autre expression de \(f(x)\) sous la forme \(f(x) = -10(x - h)^2 + k\).
Montrez que \(f(x)\) peut aussi s'écrire sous la forme \(f(x) = 240 + 20x -10x^2\).
Une particule se déplace en ligne droite de telle sorte que sa vitesse \(v\) ( en \(ms^{-1}\) ), au temps \(t\) (en secondes), est donnée par \(v = 240 + 20t -10t^2\) , avec \(0 \leq t \leq 6\).
1. Trouvez la valeur de \(t\) quand la vitesse de la particule est la plus grande.
2. Trouvez l'accélération de la particule quand sa vitesse est nulle.

IB Calcul Problème 009

2026-05-20T23:35:26+00:00

Soit \(f(x) = kx^4\). Le point \(P(1 ; k)\) est sur la courbe représentant \(f\). En \(P\), la normale à la courbe est parallèle à \(y = -\frac{1}{8}x\).

Trouvez la valeur de \(k\).

IB Calcul Problème 010

2026-05-20T23:35:25+00:00

Une fonction \(f\) est définie pour \(-4 \leq x \leq 3\).

La représentation graphique de \(f\) est donnée ci-dessous.

La figure n'est pas à l'échelle.

La représentation graphique présente un maximum relatif en \(x = 0\) et des minimums relatifs en \(x = -3\) et \(x = 2\).

Donnez les abscisses à l'origine de la représentation graphique de la fonction dérivée, \(f^\prime\).
Donnez toutes les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f^\prime(x)\) est positive.
Au point \(D\) sur la représentation graphique de \(f\), l'abscisse est \(-0{,}5\).

Expliquez pourquoi \(f^{\prime\prime}(x) < 0\) en \(D\).

IB Calcul Problème 011

2026-05-20T23:35:24+00:00

On considère la fonction \(f\) dont la dérivée seconde est \(f^{\prime\prime}(x) = 3x -1\).

La représentation graphique de \(f\) présente un point minimum en \(A(2 ; 4)\) et un point maximum en \(B(-\frac{4}{3}; \frac{358}{27})\).

Utilisez la dérivée seconde pour justifier que \(B\) est un maximum.
Étant donné que \(f^\prime(x) = \frac{3}{2}x^2 - x + p\), montrez que \(p = -4\).
Trouvez \(f(x)\).

IB Calcul Problème 012

2026-05-20T23:35:23+00:00

Soit \(f(x) = 6 + 6 \sin x\).

Une partie de la représentation graphique de \(f\) est donnée ci-dessous.

La figure n'est pas à l'échelle.

La région grisée est limitée par la courbe représentant \(f\), l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

Résolvez, avec \(0 \leq x \leq 2\pi\)
1. \begin{equation*} 6 + 6 \sin x = 6 \end{equation*}
2. \begin{equation*} 6 + 6 \sin x = 0 \end{equation*}
Donnez la valeur exacte de l'abscisse à l'origine de \(f\), avec \(0 \leq x \leq 2\pi\).
L'aire de la région grisée est \(k\). Trouvez la valeur de \(k\), en donnant votre réponse en fonction de \(\pi\).

Soit \(g(x) = 6 + 6 \sin (x - \frac{\pi}{2})\). La représentation graphique de \(f\) est transformée en celle de \(g\).

Donnez une description géométrique complète de cette transformation.
Étant donné que \(\int_p^{p+\frac{3\pi}{2}}g(x)\,dx = k\) et \(0 \leq p < 2\pi\), donnez les deux valeurs de \(p\).

IB Calcul Problème 013

2026-05-20T23:35:22+00:00

Soit \(f^\prime(x) = 12x^2 - 2\).

Sachant que \(f(-1) = -1\), trouvez \(f(x)\).

IB Calcul Problème 014

2026-05-20T23:35:21+00:00

La vitesse \(v\), en \(ms^{-1}\), d'une particule se déplaçant en ligne droite est donnée par \(v=e^{3t-2}\), où \(t\) est le temps en secondes.

Trouvez l'accélération de la particule à l'instant \(t = 1\).
Pour quelle valeur de \(t\) la particule a-t-elle une vitesse de \(22{,}3\,ms^{-1}\)?
Trouvez la distance parcourue pendant la première seconde.

IB Calcul Problème 015

2026-05-20T23:35:20+00:00

Soit \(f(x) = 3 \cos 2x + \sin^2 x\).

Montrez que \(f^\prime(x) = -5 \sin 2x\).
Dans l'intervalle \(\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{3\pi}{4}\), une normale à la représentation graphique de \(f\) a pour équation \(x = k\).

Trouvez la valeur de \(k\).

IB Calcul Problème 016

2026-05-20T23:35:19+00:00

Une particule \(P\) se déplace le long d'une droite. Le vecteur vitesse \(v\) en \(ms^{-1}\) de \(P\) après \(t\) secondes est donné par \(v(t) = 7 \cos t - 5t^{\cos t}\), pour \(0 \leq t \leq 7\).

Le diagramme suivant montre la représentation graphique de \(v\).

La figure n'est pas à l'échelle.

Trouvez le vecteur vitesse initial de \(P\).
Trouvez la vitesse maximale de \(P\).
Écrivez le nombre de fois où l'accélération de \(P\) est \(0\) \(ms^{-2}\).
Trouvez l'accélération de \(P\) lorsque la particule change de direction.
Trouvez la distance totale parcourue par \(P\).

IB Calcul Problème 017

2026-05-20T23:35:18+00:00

Soit \(f(x) = \cos(e^x)\), pour \(-2 \leq x \leq 2\).

Trouvez \(f^\prime(x)\).
Sur le système d'axes ci-dessous, esquissez la représentation graphique de \(f^\prime(x)\).

IB Calcul Problème 018

2026-05-20T23:35:17+00:00

Une particule se déplace sur une ligne droite avec une vitesse \(v = 12t - 2t^3 - 1\), pour \(t \geq 0\), où \(v\) est en centimètres par seconde et \(t\) est en secondes.

Trouvez l'accélération de la particule à l'instant \(t = 2{,}7\) secondes.
Trouvez le déplacement de la particule après \(1{,}3\) secondes.

IB Calcul Problème 019

2026-05-20T23:35:16+00:00

Soit \(f(x) = ax^3 + bx^2 + c\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des nombres réels. La courbe de \(f\) passe par le point \(( 2; 9 )\).

Montrez que \(8a + 4b +c = 9\).

La courbe de \(f\) a un minimum relatif en \((1; 4)\).

Trouvez deux autres équations en termes de \(a\), \(b\) et \(c\), en donnant vos réponses sous une forme similaire à celle de la partie A.
Trouvez la valeur de \(a\), celle de \(b\) et celle de \(c\).

IB Calcul Problème 020

2026-05-20T23:35:15+00:00

La pente d'une fonction est donnée par \(\dfrac{dy}{dx} = 10e^{2x - 5}\). Quand \(x = 0\), \(y = 8\).

Trouvez la valeur de \(y\) quand \(x = 1\).

IB Calcul Problème 021

2026-05-20T23:35:14+00:00

Soit \(f(x) = e^x \sin 2x + 10\), avec \(0 \leq x \leq 4\).

Une partie de la représentation graphique de \(f\) est donnée ci-dessous.

La figure n'est pas à l'échelle.

Sont représentés une abscisse à l'origine au point \(A\), un maximum relatif au point \(M\) avec \(x = p\) et un minimum relatif au point \(N\) avec \(x = q\).

Donnez l'abscisse de \(A\).
Trouvez la valeur de
1. \(p\)
2. \(q\)
Trouvez \(\int_p^q f(x)\,dx\).

Expliquez pourquoi ceci n'est pas l'aire de la région grisée.

IB Calcul Problème 022

2026-05-20T23:35:13+00:00

On considère \(f(x) = x\ln(4 - x^2)\), avec \(-2 < x < 2\).

Une partie de la représentation graphique de \(f\) est donnée ci-dessous.

Soient \(P\) et \(Q\) les points de la courbe représentant \(f\) où la tangente à la représentation graphique de \(f\) est parallèle à l'axe des abscisses.

1. Trouvez l'abscisse de \(P\) et \(Q\).
2. On considère \(f(x) = k\).
  
  Donnez toutes les valeurs de \(k\) pour lesquelles il y a exactement deux solutions.

Soit \(g(x) = x^3\ln(4 - x^2)\), avec \(-2 < x < 2\).

Montrez que \(g^\prime(x)=\frac{-2x^4}{4 - x^2} + 3x^2\ln(4 - x^2)\).
Esquissez la représentation graphique de \(g^\prime\).
On considère \(g^\prime(x) = w\).

Donnez toutes les valeurs de \(w\) pour lesquelles il y a exactement deux solutions.