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IB Estadística y Probabilidad Problema 001

2026-05-23T15:55:10+00:00

Un conjunto de datos contiene \(n\) valores.

La suma de los valores es \(800\) y la media es \(20\).

Encuentre \(n\).

La desviación típica de este conjunto de datos es \(3\).

Cada valor del conjunto se multiplica por \(10\).

1. Escriba el valor de la nueva media.
2. Encuentre el valor de la nueva varianza.

IB Estadística y Probabilidad Problema 002

2026-05-23T15:55:09+00:00

Pablo conduce al trabajo.

La probabilidad de que salga de casa antes de las 07:00 es \(\frac{3}{4}\).

Si sale de casa antes de las 07:00, la probabilidad de que llegue tarde al trabajo es \(\frac{1}{8}\).

Si sale de casa a las 07:00 o después, la probabilidad de que llegue tarde al trabajo es \(\frac{5}{8}\).

Copie y complete el siguiente diagrama de árbol.
Encuentre la probabilidad de que Pablo salga de casa antes de las 07:00 y llegue tarde.
Encuentre la probabilidad de que Pablo llegue tarde al trabajo.
Dado que Pablo llega tarde al trabajo, encuentre la probabilidad de que haya salido de casa antes de las 07:00.

IB Estadística y Probabilidad Problema 003

2026-05-23T15:55:08+00:00

La curva de frecuencias acumuladas siguiente representa las notas de \(100\) estudiantes.

Encuentre la nota mediana.
Encuentre el rango intercuartílico.

IB Estadística y Probabilidad Problema 004

2026-05-23T15:55:07+00:00

La variable aleatoria \(X\) sigue la siguiente distribución de probabilidad, donde \(P(X > 1) = 0{,}5\).

Encuentre el valor de \(r\).
Dado que \(E(X) = 1{,}4\), encuentre el valor de \(p\) y el valor de \(q\).

IB Estadística y Probabilidad Problema 005

2026-05-23T15:55:06+00:00

La bolsa \(A\) contiene tres bolas blancas y cuatro bolas rojas.

Se eligen dos bolas al azar sin reposición.

1. Copie y complete el siguiente diagrama de árbol. (No escriba nada en esta página.)
2. Encuentre la probabilidad de que se elijan dos bolas blancas.

La bolsa \(B\) contiene cuatro bolas blancas y tres bolas rojas.

Cuando se eligen dos bolas al azar sin reposición de la bolsa \(B\), la probabilidad de que ambas sean blancas es \(\frac{2}{7}\).

Se lanza un dado estándar. Si se obtiene \(1\) o \(2\), se eligen dos bolas al azar sin reposición de la bolsa \(A\); de lo contrario, se eligen de la bolsa \(B\).

Encuentre la probabilidad de que las dos bolas sean blancas.
Dado que las dos bolas son blancas, encuentre la probabilidad de que hayan sido elegidas de la bolsa \(A\).

IB Geometría y Trigonometría Problema 001

2026-05-23T15:12:36+00:00

La figura no está a escala.

Círculo de centro \(O\) y radio igual a \(r\) cm.

Los puntos \(A\) y \(B\) están situados en la circunferencia del círculo y \(\angle AOB = \theta\). El área del sector sombreado \(AOB\) es de \(12 cm^2\) y la longitud del arco \(AB\) es de \(6 cm\).

Encuentre el valor de \(r\).

IB Geometría y Trigonometría Problema 002

2026-05-23T15:12:35+00:00

La figura no está a escala.

El diagrama muestra el cuadrilátero \(ABCD\).

\(AB = 11cm\), \(BC = 6cm\), \(\angle\,BAD = 59^\circ\), \(\angle\,ADB = 100^\circ\) y \(\angle\,CBD = 82^\circ\).

Encuentre DB.

Encuentre DC.

IB Geometría y Trigonometría Problema 003

2026-05-23T15:12:34+00:00

La figura no está a escala.

La figura representa un sector de un círculo de radio \(r\,cm\) y ángulo central \(\theta\). El perímetro del sector es de \(20\,cm\).

Demuestre que \(\theta = \frac{20 - 2r}{r}\).
El área de este sector es de \(25\,cm^2\). Encuentre el valor de \(r\).

IB Geometría y Trigonometría Problema 004

2026-05-23T15:12:33+00:00

La figura no está a escala.

La figura representa un pentágono \(ABCDE\), donde \(AB = 9{,}2\,cm, BC = 3{,}2\,cm, BD = 7{,}1\,cm, \angle\,AED = 110^\circ, \angle\,ADE = 52^\circ,\) y \(\angle\,ABD = 60^\circ\).

Encuentre \(AD\).
Encuentre \(DE\).
El área del triángulo \(BCD\) es \(5{,}68\,cm^2\). Encuentre \(\angle\,DBC\).
Encuentre \(AC\).

IB Geometría y Trigonometría Problema 005

2026-05-23T15:12:32+00:00

La figura no está a escala.

La figura muestra \(\bigtriangleup\,PQR\), donde \(RQ = 9\,cm\), \(\angle\,PRQ = 70^\circ\) y \(\angle\,PQR = 45^\circ\).

Encuentre \(\angle\,RPQ\).
Encuentre \(PR\).
Encuentre el área de \(\bigtriangleup\,PQR\).

IB Geometría y Trigonometría Problema 006

2026-05-23T15:12:31+00:00

La figura no está a escala.

La figura muestra el círculo de centro \(O\) y radio \(r\).

Los puntos \(P\), \(R\) y \(Q\) están en la circunferencia, \(\angle\,POQ = 2\theta\), para \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\).

Utilice la ley de los cosenos para demostrar que \(PQ = 2r\,\sin\,\theta\).
Sea \(l\) la longitud del arco \(PRQ\). Dado que \(1{,}3PQ - l = 0\), encuentre el valor de \(\theta\).
Considere la función \(f(\theta) = 2{,}6\,\sin\,\theta - 2\theta\), para \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\).
1. Esboce la gráfica de \(f\).
2. Dé la raíz de \(f(\theta) = 0\).
Utilice la curva \(f\) para encontrar los valores de \(\theta\) para los cuales \(l < 1{,}3\,PQ\).

IB Geometría y Trigonometría Problema 007

2026-05-23T15:12:30+00:00

Al pie de una colina se encuentra una torre vertical \(TA\) de \(36\,m\) de altura. Un camino rectilíneo sube la colina desde \(A\) hasta un punto \(U\). Esta información se representa en la siguiente figura.

La figura no está a escala.

El camino forma un ángulo de \(4^\circ\) con la horizontal.

El punto \(U\) en el camino está a \(25\,m\) de la base de la torre.

La cima de la torre está unida a \(U\) por un cable de longitud \(x\) (en \(m\)).

Complete la figura representando claramente la información anterior.
Encuentre \(x\).

IB Geometría y Trigonometría Problema 008

2026-05-23T15:12:29+00:00

La figura siguiente representa el plano de una ventana en forma de trapecio.

La figura no está a escala.

Tres lados de la ventana tienen una longitud de \(2\,m\). El ángulo entre los lados oblicuos de la ventana y la base es \(\theta\), donde \(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\).

Demuestre que el área de la ventana está dada por \(y = 4\,\sin\,\theta + 2\,\sin\,2\theta\).
Zoé quiere una ventana con un área de \(5 m^2\). Encuentre los dos valores posibles de \(\theta\).
John quiere dos ventanas que tengan la misma área \(A\) pero valores diferentes de \(\theta\). Encuentre todos los valores posibles de \(A\).

IB Geometría y Trigonometría Problema 009

2026-05-23T15:12:28+00:00

La figura siguiente representa un círculo de centro \(O\) y radio \(8\,cm\).

La figura no está a escala.

Los puntos \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) están en el círculo, y \(AF\) es un diámetro. La longitud del arco \(ABC\) es de \(6\,cm\).

Encuentre la medida del ángulo \(\angle\,AOC\).
A partir de esto, encuentre el área de la región sombreada.
El área del sector \(OCDE\) es de \(45\,cm^2\). Encuentre la medida del ángulo \(\angle\,COE\).
Encuentre \(EF\).

IB Funciones Problema 001

2026-05-21T11:55:44+00:00

El siguiente diagrama muestra la gráfica de la función \(f(x)\) para \(-4 \leq x \leq 2\).

Diagrama \(A\)

En el sistema de ejes del diagrama \(A\), trace la gráfica de \(f(-x)\).

Otra función, \(g\), puede escribirse en la forma \(g(x) = a \times f(x + b)\).

El siguiente diagrama muestra la gráfica de \(g\).

Diagrama \(B\)

Según el diagrama \(B\), escriba el valor de \(a\) y de \(b\) de la función \(g\).

IB Funciones Problema 002

2026-05-21T11:55:43+00:00

Sea \(f(x) = p\,x^2 + q\,x - 4\,p\), donde \(p \ne 0\).

Encuentre el número de raíces de la ecuación \(f(x) = 0\).

Justifique su respuesta.

IB Funciones Problema 003

2026-05-21T11:55:42+00:00

Sea \(f(x) = 2\,x - 1\) y \(g(x) = 3x^2 + 2\).

Encuentre \(f^{-1}(x)\).
Encuentre \((f \circ g)(1)\).

IB Funciones Problema 004

2026-05-21T11:55:41+00:00

La función \(f(x)\) para \(-2 \leq x \leq 3\) se muestra a continuación.

La gráfica de \(f\) se transforma para obtener la gráfica de \(g\) que se muestra a continuación.

Esquematice la gráfica de \(f(-x)\) en el sistema de ejes a continuación.

La función \(g\) puede escribirse en la forma \(g(x) = a\,f(x + b)\).

Encuentre el valor de \(a\) y el valor de \(b\).

IB Funciones Problema 005

2026-05-21T11:55:40+00:00

Considere la ecuación \(x^2 + (k-1)x + 1 = 0\), donde \(k\) es un número real.

Encuentre los valores de \(k\) para los cuales la ecuación tiene dos soluciones reales iguales.

IB Funciones Problema 006

2026-05-21T11:55:39+00:00

La función cuadrática \(f(x)\), para \(0 \leq x \leq 4\), se muestra a continuación.

La curva pasa por el punto \(P(0; 13)\), y su vértice es el punto \(V(2; 1)\).

La función puede escribirse en la forma \(f(x) = a(x-h)^2 + k\).
1. Encuentre el valor de \(h\) y el valor de \(k\).
2. Muestre que \(a=3\).
Calcule el área delimitada por la curva de \(f\), el eje de las abscisas \(x\), y las rectas \(x=2\) y \(x=4\).

IB Funciones Problema 007

2026-05-21T11:55:38+00:00

Sea \(f(x) =\frac{x}{-2x^2 + 5x - 2}\), para \(-2 \leq x \leq 4\), \(x \ne \frac{1}{2}\), \(x\ne2\), representada a continuación.

La curva tiene un mínimo local en \(A(1;1)\) y un máximo local en \(B\).

Utilice la regla del cociente para mostrar que \(f^\prime(x)=\frac{2x^2 - 2}{(-2x^2+5x-2)^2}\).
A partir de esto, encuentre las coordenadas de \(B\).
Dado que la recta \(y=k\) no interseca la curva de \(f\), encuentre los valores posibles de \(k\).

IB Funciones Problema 008

2026-05-21T11:55:37+00:00

Sea \(f(x) = 3\ln\,x\) y \(g(x) = \ln\,5x^3\).

Exprese \(g(x)\) en la forma \(f(x)+\ln a\) donde \(a \in \mathbb{Z}^+\).
La gráfica de \(g\) es una transformación de la gráfica de \(f\). Dé una descripción geométrica completa de esta transformación.

IB Funciones Problema 009

2026-05-21T11:55:36+00:00

Una noria de un parque de atracciones tiene un diámetro de 100 metros. Figura A.

Tabla de alturas de \(P\) en metros sobre el suelo después de \(t\) minutos. Tabla B.

Sea \(P\) un punto de la noria. La noria parte con \(P\) en su punto más bajo, a nivel del suelo.

La noria gira a velocidad constante, en sentido antihorario. Una vuelta completa tarda \(20\) minutos.

Encuentre la altura de \(P\) sobre el suelo después de:
1. \(10\) minutos.
2. \(15\) minutos.
Sea \(h(t)\) la altura de \(P\) sobre el suelo en metros después de \(t\) minutos.
1. Muestre que \(h(8)=90{,}5\).
2. Encuentre \(h(21)\).
Esquematice la gráfica de \(h\), para \(0 \leq t \leq 40\).
Dado que \(h\) puede expresarse en la forma \(h(t) = a\,\cos\,bt + c\), encuentre \(a\), \(b\) y \(c\).

IB Funciones Problema 010

2026-05-21T11:55:35+00:00

Sea \(f(x)=p(x-q)(x-r)\).

Una parte de la gráfica de \(f\) se muestra a continuación.

Pasa por los puntos \((-2; 0)\), \((0; -4)\) y \((4 ; 0)\).

Encuentre el valor de \(q\) y de \(r\).
Escriba la ecuación del eje de simetría.
Encuentre el valor de \(p\).

IB Funciones Problema 011

2026-05-21T11:55:34+00:00

Sea \(f(x) = \cos\,2x\) y \(g(x) = 2x^2 - 1\).

Encuentre \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)\).
Encuentre \((g \circ f)\left(\frac{\pi}{2}\right)\).
Dado que \((g \circ f)\) puede escribirse en la forma \(\cos(kx)\), encuentre el valor de \(k\), \(k \in \mathbb{Z}\).

IB Funciones Problema 012

2026-05-21T11:55:33+00:00

Resuelva \(\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3\), con \(x > 2\).

IB Funciones Problema 013

2026-05-21T11:55:32+00:00

A finales de 1972, la población de una ciudad era de \(250\ 000\) habitantes.

Esta población aumenta un \(1{,}3\%\) por año.

Encuentre la población a finales de 1973.
Encuentre la población a finales de 2002.

IB Funciones Problema 014

2026-05-21T11:55:31+00:00

Sea \(f(x) = \sqrt{x + 4}\), \(x \geq -4\) y \(g(x) = x^2\), \(x \in \mathbb{R}\).

Encuentre \((g \circ f)(3)\).
Encuentre \(f^{-1}(x)\).
Escriba el dominio de \(f^{-1}\).

IB Funciones Problema 015

2026-05-21T11:55:30+00:00

Se consideran dos funciones cuadráticas diferentes de la forma \(f(x) = 4x^2 - qx + 25\).

La gráfica de cada función tiene su vértice sobre el eje de las abscisas.

Encuentre los dos valores de \(q\).
Para el valor mayor de \(q\), resuelva \(f(x) = 0\).
Encuentre las coordenadas del punto de intersección de las dos gráficas.

IB Funciones Problema 016

2026-05-21T11:55:29+00:00

Sea \(f(x) = \ln(x +2)\), \(x > -2\) y \(g(x) = e^{x-4}\), \(x > 0\).

Encuentre la intersección de la gráfica de \(f\) con el eje de las abscisas.
1. Encuentre \(f(-1{,}999)\).
2. Encuentre el rango de \(f\).
Encuentre las coordenadas del punto de intersección de las gráficas de \(f\) y \(g\).

IB Funciones Problema 017

2026-05-21T11:55:28+00:00

La gráfica de una función \(f\) se muestra en la figura a continuación.

El punto \(A(-1; 1)\) está sobre la gráfica y \(y=-1\) es una asíntota horizontal.

Sea \(g(x) = f(x-1) + 2\). En la figura, esquematice la gráfica de \(g\).
Escriba la ecuación de la asíntota de \(g\).
Sea \(A^\prime\) el punto sobre la gráfica de \(g\) correspondiente al punto \(A\). Escriba las coordenadas de \(A^\prime\).

IB Funciones Problema 018

2026-05-21T11:55:27+00:00

Sea la función \(y = a\,\sin\,2x + c\), \(-180 \leq x \leq 180\), donde \(x\) se mide en grados.

La curva de la función se muestra a continuación.

Escriba :
1. el período de esta función ;
2. la amplitud de esta función.
Determine los valores de \(a\) y de \(c\).
Calcule la abscisa \(x\) de la primera intersección de la curva con la parte negativa del eje de las abscisas.

IB Funciones Problema 019

2026-05-21T11:55:26+00:00

Sea \(f(x) = \sin(e^x)\) para \(0 \leq x \leq 1{,}5\).

El siguiente diagrama muestra la gráfica de \(f\).

Encuentre la abscisa en el origen de la gráfica de \(f\).

IB Funciones Problema 020

2026-05-21T11:55:25+00:00

En un parque de atracciones, una noria con un diámetro de \(111\) metros gira a velocidad constante.

La parte inferior de la noria está a \(k\) metros sobre el suelo.

Un asiento parte desde la parte inferior de la noria.

El diagrama no está a escala.

La noria completa una vuelta en 16 minutos.

Después de \(t\) minutos, la altura del asiento sobre el suelo viene dada por \(h(t) = 61{,}5 + a\,\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)\), para \(0 \leq t \leq 32\).

Después de \(8\) minutos, el asiento está a \(117\) m sobre el suelo. Encuentre \(k\).
Encuentre el valor de \(a\).
Encuentre cuándo el asiento está a \(30\) m sobre el suelo por tercera vez.

IB Funciones Problema 021

2026-05-21T11:55:24+00:00

Sea \(f(x) = \frac{x - 5}{cx + 6}\) para \(x \ne -\frac{6}{c}\), \(c \ne 0\).

La recta \(x = 3\) es una asíntota vertical de la gráfica de \(f\). Encuentre el valor de \(c\).
Escriba la ecuación de la asíntota horizontal de la gráfica de \(f\).
La recta \(y=k\), donde \(k \in \mathbb{R}\), interseca la gráfica de \(\vert f(x) \vert\) en exactamente un punto. Encuentre los valores posibles de \(k\).

IB Funciones Problema 022

2026-05-21T11:55:23+00:00

Sea \(f(x)=3x\), \(g(x)=2x - 5\) y \(h(x) = (f \circ g)(x)\).

Encuentre \(h(x)\).
Encuentre \(h^{-1}(x)\).

IB Funciones Problema 023

2026-05-21T11:55:22+00:00

Sea \(g(x) = \frac{1}{2}x\,\sin\,x\), para \(0 \leq x \leq 4\).

Esquematice la gráfica de \(g\) en los ejes a continuación.

A partir de esto, encuentre el valor de \(x\) para el cual \(g(x) = -1\).

IB Funciones Problema 024

2026-05-21T11:55:21+00:00

Se considera \(f(x) = 2 - x^2\), para \(-2 \leq x \leq 2\), y \(g(x)= \sin\,e^x\), para \(-2 \leq x \leq 2\).

La gráfica de \(f(x)\) se muestra a continuación.

En el diagrama anterior, esquematice la gráfica de \(g\).
Resuelva \(f(x) = g(x)\).
Escriba el conjunto de valores de \(x\) tales que \(f(x) > g(x)\).

IB Funciones Problema 025

2026-05-21T11:55:20+00:00

El número de bacterias, \(n\), en una caja de Petri, después de \(t\) minutos está dado por \(n = 800e^{0{,}13t}\).

Encuentre el valor de \(n\) cuando \(t = 0\).
Encuentre la tasa de crecimiento de \(n\) cuando \(t = 15\).
Después de \(k\) minutos, la tasa de crecimiento de \(n\) es mayor que \(10\ 000\) bacterias por minuto. Encuentre el valor mínimo de \(k\), con \(k \in \mathbb{Z}\).

IB Álgebra y Números Problema 001

2026-05-21T11:09:25+00:00

Una sucesión aritmética es tal que \(u_1 = \log_c (p)\) y \(u_2 = \log_c (pq)\) donde \(c > 1\), y \(p, q > 0\).

Demuestre que \(d = \log_c (q)\).
Sea \(p = c^2\) y \(q = c^3\). Encuentre el valor de \(\sum_{n=1}^{20} u_n\).

IB Álgebra y Números Problema 002

2026-05-21T11:09:24+00:00

Dado que \(\left(1 + \frac{2}{3}\,x \right)^n(3 + nx)^2 = 9 + 84x + \ldots\), encuentre el valor de \(n\).

IB Álgebra y Números Problema 003

2026-05-21T11:09:23+00:00

En una sucesión aritmética, \(u_1 = 2\) y \(u_3 = 8\).

Encuentre \(d\).
Encuentre \(u_{20}\).
Encuentre \(S_{20}\).

IB Álgebra y Números Problema 004

2026-05-21T11:09:22+00:00

Uno de los términos del desarrollo de \((x + 2y)^{10}\) es \(ax^8y^2\).

Encuentre el valor de \(a\).

IB Álgebra y Números Problema 005

2026-05-21T11:09:21+00:00

El primer término de una sucesión geométrica infinita es \(4\). La suma de la sucesión infinita es \(200\).

Encuentre la razón común.
Encuentre la suma de los primeros 8 términos.
Encuentre el menor valor de \(n\) para el cual \(S_n > 163\).

IB Álgebra y Números Problema 006

2026-05-21T11:09:20+00:00

Considere el desarrollo de \(\left(2x + \frac{k}{x}\right)^9\), donde \(k > 0\). El coeficiente del término en \(x^3\) es igual al coeficiente del término en \(x^5\).

Encuentre \(k\).

IB Álgebra y Números Problema 007

2026-05-21T11:09:19+00:00

El primer término de una sucesión geométrica es \(200\) y la suma de los primeros cuatro términos es \(324{,}8\).

Encuentre la razón común.
Encuentre el décimo término.

IB Álgebra y Números Problema 008

2026-05-21T11:09:18+00:00

Considere el desarrollo de \((x + 2)^{11}\).

Escriba el número de términos en el desarrollo.
Encuentre el término que contiene \(x^2\).

IB Álgebra y Números Problema 009

2026-05-21T11:09:17+00:00

Una sucesión aritmética \(u_1, u_2, u_3, \ldots\), es tal que \(d = 11\) y \(u_{27} = 263\).

Encuentre \(u_1\).
1. Dado que \(u_n = 516\), encuentre el valor de \(n\).
2. Para este valor de \(n\), encuentre \(S_n\).

IB Álgebra y Números Problema 010

2026-05-21T11:09:16+00:00

En el desarrollo de \(\left(3x^2 - \frac{2}{x} \right)^5\), encuentre el término en \(x^4\).

IB Cálculo Problema 001

2026-05-20T23:35:34+00:00

Sea la función \(f(x) = 6x^2-3x\) representada arriba.

La figura no está a escala.

Encuentre \(\int \! (6x^2-3x) \, \mathrm{d}x\).
Encuentre el área de la región delimitada por la gráfica de \(f(x)\),

el eje de las abscisas y las rectas \(x = 1\) y \(x = 2\).

Es decir, \(\int_1^2 \! (6x^2-3x) \, \mathrm{d}x\).

IB Cálculo Problema 002

2026-05-20T23:35:33+00:00

Una caja metálica cilíndrica cerrada tiene un radio de \(r\) centímetros y una altura de \(h\) centímetros, con un volumen de \(20\pi\, cm^3\).

La figura no está a escala.

Exprese \(h\) en función de \(r\).

El metal para la base y la tapa de la caja cuesta 10 centavos por \(cm^2\) y el metal para el lado curvo cuesta \(8\) centavos por \(cm^2\).

El costo total del metal, en centavos, es \(C\).

Demuestre que \(C\,=\,20\pi{}r^2 + \frac{320\pi}{r}\)
Sabiendo que existe un valor mínimo para \(C\), encuentre ese valor mínimo en función de \(\pi\).

IB Cálculo Problema 003

2026-05-20T23:35:32+00:00

Considere una función \(f(x)\). La recta \(L_1\) de ecuación \(y = 3x + 1\) es tangente a la gráfica de \(f(x)\) cuando \(x = 2\).

1. Escriba \(f^\prime(2)\).
2. Encuentre \(f(2)\).

Sea \(g(x) = f(x^2 + 1)\) y sea \(P\) el punto sobre la gráfica de \(g\) donde \(x = 1\).

Demuestre que la gráfica de \(g\) tiene una pendiente de 6 en el punto \(P\).

Sea \(L_2\) la tangente a la gráfica de \(g\) en el punto \(P\). \(L_1\) intersecta \(L_2\) en el punto \(Q\).

Encuentre la ordenada de \(Q\).

IB Cálculo Problema 004

2026-05-20T23:35:31+00:00

La siguiente figura muestra la gráfica de \(f(x) = a\,Cos\,bx\), para \(0 \leq x \leq 4\).

La figura no está a escala.

Hay un punto mínimo en \(P( 2, -3 )\) y un punto máximo en \(Q( 4, 3 )\).

1. Escriba el valor de \(a\).
2. Encuentre el valor de \(b\).
Escriba la pendiente de la curva en \(P\).
Encuentre la ecuación de la normal a la curva en \(P\).

IB Cálculo Problema 005

2026-05-20T23:35:30+00:00

Sea \(h(x) = \frac{6x}{\cos x}\).

Encuentre \(h^\prime(0)\).

IB Cálculo Problema 006

2026-05-20T23:35:29+00:00

La siguiente figura representa una parte de la gráfica de \(f(x) = 2x\sqrt[2]{a^2 - x^2}\), para \(-1 \leq x \leq a\), donde \(a > 1\).

La figura no está a escala.

La recta \(L\) es la tangente a la gráfica de \(f\) en el origen, \(O\). El punto \(P(a; b)\) está sobre \(L\).

Dado que \(f^\prime(x) =\frac{2a^2 - 4x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\), para \(-1 \leq x \leq a\), encuentre la ecuación de \(L\).
A partir de esto o por cualquier otro método, encuentre la expresión de \(b\) en función de \(a\).

IB Cálculo Problema 007

2026-05-20T23:35:28+00:00

La siguiente figura representa una parte de la gráfica de la función \(f(x) = 2x^2\).

La figura no está a escala.

La recta \(T\) es la tangente a la gráfica de \(f\) en \(x = 1\).

Demuestre que la ecuación de \(T\) es \(y = 4x - 2\).
Encuentre la intersección de \(T\) con el eje de las abscisas.
La región sombreada \(R\) está delimitada por la gráfica de \(f\), la recta \(T\) y el eje de las abscisas.
1. Escriba una expresión para el área de \(R\).
2. Encuentre el área de \(R\).

IB Cálculo Problema 008

2026-05-20T23:35:27+00:00

La siguiente figura representa una parte de la gráfica de la función cuadrática \(f\).

La figura no está a escala.

Las intersecciones con el eje de las abscisas están en \(( -4; 0 )\) y \(( 6; 0 )\) y la intersección con el eje de las ordenadas está en \(( 0; 240 )\).

Escriba \(f(x)\) en la forma \(f(x) = -10(x - p) (x - q)\).
Encuentre otra expresión de \(f(x)\) en la forma \(f(x) = -10(x - h)^2 + k\).
Demuestre que \(f(x)\) también puede escribirse en la forma \(f(x) = 240 + 20x -10x^2\).
Una partícula se mueve en línea recta de tal manera que su velocidad \(v\) ( en \(ms^{-1}\) ), en el tiempo \(t\) (en segundos), está dada por \(v = 240 + 20t -10t^2\) , con \(0 \leq t \leq 6\).
1. Encuentre el valor de \(t\) cuando la velocidad de la partícula es máxima.
2. Encuentre la aceleración de la partícula cuando su velocidad es nula.

IB Cálculo Problema 009

2026-05-20T23:35:26+00:00

Sea \(f(x) = kx^4\). El punto \(P(1 ; k)\) está sobre la curva de \(f\). En \(P\), la normal a la curva es paralela a \(y = -\frac{1}{8}x\).

Encuentre el valor de \(k\).

IB Cálculo Problema 010

2026-05-20T23:35:25+00:00

Una función \(f\) está definida para \(-4 \leq x \leq 3\).

La gráfica de \(f\) se muestra a continuación.

La figura no está a escala.

La gráfica tiene un máximo relativo en \(x = 0\) y mínimos relativos en \(x = -3\) y \(x = 2\).

Escriba las intersecciones con el eje de las abscisas de la gráfica de la función derivada, \(f^\prime\).
Escriba todos los valores de \(x\) para los cuales \(f^\prime(x)\) es positiva.
En el punto \(D\) sobre la gráfica de \(f\), la abscissa es \(-0{,}5\).

Explique por qué \(f^{\prime\prime}(x) < 0\) en \(D\).

IB Cálculo Problema 011

2026-05-20T23:35:24+00:00

Se considera la función \(f\) cuya segunda derivada es \(f^{\prime\prime}(x) = 3x -1\).

La gráfica de \(f\) tiene un punto mínimo en \(A(2 ; 4)\) y un punto máximo en \(B(-\frac{4}{3}; \frac{358}{27})\).

Utilice la segunda derivada para justificar que \(B\) es un máximo.
Dado que \(f^\prime(x) = \frac{3}{2}x^2 - x + p\), demuestre que \(p = -4\).
Encuentre \(f(x)\).

IB Cálculo Problema 012

2026-05-20T23:35:23+00:00

Sea \(f(x) = 6 + 6 \sin x\).

Una parte de la gráfica de \(f\) se muestra a continuación.

La figura no está a escala.

La región sombreada está delimitada por la curva de \(f\), el eje de las abscisas y el eje de las ordenadas.

Resuelva, para \(0 \leq x \leq 2\pi\)
1. \begin{equation*} 6 + 6 \sin x = 6 \end{equation*}
2. \begin{equation*} 6 + 6 \sin x = 0 \end{equation*}
Escriba el valor exacto de la intersección de \(f\) con el eje de las abscisas, para \(0 \leq x \leq 2\pi\).
El área de la región sombreada es \(k\). Encuentre el valor de \(k\), dando su respuesta en función de \(\pi\).

Sea \(g(x) = 6 + 6 \sin (x - \frac{\pi}{2})\). La gráfica de \(f\) es transformada en la de \(g\).

Dé una descripción geométrica completa de esta transformación.
Dado que \(\int_p^{p+\frac{3\pi}{2}}g(x)\,dx = k\) y \(0 \leq p < 2\pi\), encuentre los dos valores de \(p\).

IB Cálculo Problema 013

2026-05-20T23:35:22+00:00

Sea \(f^\prime(x) = 12x^2 - 2\).

Dado que \(f(-1) = -1\), encuentre \(f(x)\).

IB Cálculo Problema 014

2026-05-20T23:35:21+00:00

La velocidad \(v\), en \(ms^{-1}\), de una partícula que se mueve en línea recta está dada por \(v=e^{3t-2}\), donde \(t\) es el tiempo en segundos.

Encuentre la aceleración de la partícula en el instante \(t = 1\).
¿Para qué valor de \(t\) tiene la partícula una velocidad de \(22{,}3\,ms^{-1}\)?
Encuentre la distancia recorrida durante el primer segundo.

IB Cálculo Problema 015

2026-05-20T23:35:20+00:00

Sea \(f(x) = 3 \cos 2x + \sin^2 x\).

Demuestre que \(f^\prime(x) = -5 \sin 2x\).
En el intervalo \(\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{3\pi}{4}\), una normal a la gráfica de \(f\) tiene por ecuación \(x = k\).

Encuentre el valor de \(k\).

IB Cálculo Problema 016

2026-05-20T23:35:19+00:00

Una partícula \(P\) se mueve a lo largo de una recta. La velocidad \(v\) en \(ms^{-1}\) de \(P\) después de \(t\) segundos está dada por \(v(t) = 7 \cos t - 5t^{\cos t}\), para \(0 \leq t \leq 7\).

El siguiente diagrama muestra la gráfica de \(v\).

La figura no está a escala.

Encuentre la velocidad inicial de \(P\).
Encuentre la velocidad máxima de \(P\).
Escriba el número de veces que la aceleración de \(P\) es \(0\) \(ms^{-2}\).
Encuentre la aceleración de \(P\) cuando la partícula cambia de dirección.
Encuentre la distancia total recorrida por \(P\).

IB Cálculo Problema 017

2026-05-20T23:35:18+00:00

Sea \(f(x) = \cos(e^x)\), para \(-2 \leq x \leq 2\).

Encuentre \(f^\prime(x)\).
En el sistema de ejes a continuación, trace la gráfica de \(f^\prime(x)\).

IB Cálculo Problema 018

2026-05-20T23:35:17+00:00

Una partícula se mueve a lo largo de una recta con velocidad \(v = 12t - 2t^3 - 1\), para \(t \geq 0\), donde \(v\) está en centímetros por segundo y \(t\) está en segundos.

Encuentre la aceleración de la partícula en el instante \(t = 2{,}7\) segundos.
Encuentre el desplazamiento de la partícula después de \(1{,}3\) segundos.

IB Cálculo Problema 019

2026-05-20T23:35:16+00:00

Sea \(f(x) = ax^3 + bx^2 + c\), donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales. La curva de \(f\) pasa por el punto \(( 2; 9 )\).

Demuestre que \(8a + 4b +c = 9\).

La curva de \(f\) tiene un mínimo relativo en \((1; 4)\).

Encuentre otras dos ecuaciones en términos de \(a\), \(b\) y \(c\), dando sus respuestas en una forma similar a la de la parte A.
Encuentre el valor de \(a\), el valor de \(b\) y el valor de \(c\).

IB Cálculo Problema 020

2026-05-20T23:35:15+00:00

La pendiente de una función está dada por \(\dfrac{dy}{dx} = 10e^{2x - 5}\). Cuando \(x = 0\), \(y = 8\).

Encuentre el valor de \(y\) cuando \(x = 1\).

IB Cálculo Problema 021

2026-05-20T23:35:14+00:00

Sea \(f(x) = e^x \sin 2x + 10\), para \(0 \leq x \leq 4\).

Una parte de la gráfica de \(f\) se muestra a continuación.

La figura no está a escala.

Se muestran una intersección con el eje de las abscisas en el punto \(A\), un máximo relativo en el punto \(M\) con \(x = p\) y un mínimo relativo en el punto \(N\) con \(x = q\).

Escriba la abscissa del punto \(A\).
Encuentre el valor de
1. \(p\)
2. \(q\)
Encuentre \(\int_p^q f(x)\,dx\).

Explique por qué esto no es el área de la región sombreada.

IB Cálculo Problema 022

2026-05-20T23:35:13+00:00

Se considera \(f(x) = x\ln(4 - x^2)\), para \(-2 < x < 2\).

Una parte de la gráfica de \(f\) se muestra a continuación.

Sean \(P\) y \(Q\) los puntos de la curva de \(f\) donde la tangente a la gráfica de \(f\) es paralela al eje de las abscisas.

1. Encuentre la abscissa de \(P\) y \(Q\).
2. Se considera \(f(x) = k\).
  
  Escriba todos los valores de \(k\) para los cuales hay exactamente dos soluciones.

Sea \(g(x) = x^3\ln(4 - x^2)\), para \(-2 < x < 2\).

Demuestre que \(g^\prime(x)=\frac{-2x^4}{4 - x^2} + 3x^2\ln(4 - x^2)\).
Trace la gráfica de \(g^\prime\).
Se considera \(g^\prime(x) = w\).

Escriba todos los valores de \(w\) para los cuales hay exactamente dos soluciones.

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